실험 개요
단진자는 작은 각도 근사에서 단순조화운동을 하는 가장 단순한 진자로, 주기 T가 길이 L의 제곱근에 비례하고 진자의 질량과 무관하다는 사실을 확인하는 실험이다. 학부 일반물리학에서는 길이를 변화시키며 주기를 측정해 g를 결정하고, 진폭이 커질 때 비선형 보정이 필요함을 관찰한다. 예비보고서에서는 작은 각도 근사의 의미, 측정 오차의 전파, 그리고 g의 표준값(9.80~9.81 m/s², 위도와 고도에 따라 변동)을 정리한다.
이론 배경
운동 방정식
각변위 θ에 대한 토크 방정식 mL² θ̈ = –mgL sin θ. 작은 각도 근사 sin θ ≈ θ에서 θ̈ + (g/L) θ = 0의 단순조화방정식이 되고, 주기는 T = 2π √(L/g).
진폭 보정
큰 진폭에서는 T ≈ 2π√(L/g) [1 + θ₀²/16 + ...]. θ₀ = 10°에서 약 0.2% 보정, 30°에서 약 1.7% 보정. 학부 실험에서는 보통 5° 이내로 진폭을 제한해 보정 없이 사용 가능.
오차 전파
g = 4π² L/T²이므로 σg/g = √[(σL/L)² + (2 σT/T)²]. T 측정의 상대오차가 두 배로 들어오므로 T를 정밀하게 재는 것이 중요하다. 보통 10주기를 측정해 평균하면 σT가 1/10로 줄어든다.
표·표준값
진폭별 주기 보정 인자
Treal = T0 × (보정 인자). T0 = 2π√(L/g)는 작은 각도 근사. 진폭 θ0가 커질수록 무한급수 보정.
| 진폭 θ0 (°) | 보정 인자 | 보정량 (%) |
|---|---|---|
| 1 | 1.000019 | 0.0019 |
| 5 | 1.00048 | 0.048 |
| 10 | 1.0019 | 0.19 |
| 15 | 1.0043 | 0.43 |
| 20 | 1.0077 | 0.77 |
| 30 | 1.0174 | 1.74 |
| 45 | 1.0399 | 3.99 |
| 60 | 1.0732 | 7.32 |
주요 위도별 g 표준값
WGS84 모델 기준. 위도가 높을수록 자전 원심력이 작아져 g가 커짐.
| 위치 | 위도 (°) | 고도 (m) | g (m/s²) |
|---|---|---|---|
| 적도 평균 | 0 | 0 | 9.7803 |
| 부산 | 35.10 | 5 | 9.7995 |
| 서울 | 37.57 | 30 | 9.7997 |
| 평양 | 39.02 | 30 | 9.8014 |
| 북극 | 90 | 0 | 9.8322 |
| 국제 표준값 | — | — | 9.80665 |
실험 장치 및 시약
- — 추(쇠구슬), 가는 실
- — 스탠드, 클램프
- — 줄자(±1 mm), 스톱워치(0.01 s)
- — 각도기 또는 디지털 진폭계
실험 절차
- 1.실의 한쪽 끝을 스탠드에 고정하고 추를 매단다.
- 2.L을 0.5 m로 설정하고 추 중심까지의 거리를 측정한다.
- 3.5° 이내 각도로 진자를 풀어 10주기 시간을 측정해 T₁₀를 기록한다.
- 4.L을 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0 m로 변경하며 각각 3회씩 측정한다.
- 5.L이 같을 때 추의 질량을 바꿔 주기가 무관함을 확인한다.
데이터 처리
T = T₁₀/10. T² vs L 그래프를 그려 직선의 기울기 4π²/g에서 g를 산출한다. 각 L에서의 표준편차를 오차막대로 표시하고, 전체 데이터의 가중 회귀로 g와 그 불확도를 보고한다. 결과 g와 표준값 9.80 m/s²의 차이가 불확도 안에 들어오는지로 실험 검증.
Worked Example
측정 예시 — 길이 L = 0.800 m로 설정하고 작은 각도(약 5°)에서 진자를 풀어 10주기 시간을 3회 측정: t₁ = 17.94 s, t₂ = 17.96 s, t₃ = 17.95 s. 평균 t̄₁₀ = 17.95 s ⇒ T = 1.795 s. g = 4π² L/T² = 4 × 9.8696 × 0.800 / (1.795)² = 9.80 m/s². 표준값 9.80665와의 차이 0.07%. 표준편차로부터 σT = 0.001 s, σL ≈ 0.001 m, 오차 전파 σg/g = √[(σL/L)² + (2σT/T)²] = 0.13% ⇒ g = 9.80 ± 0.01 m/s². 결론: 측정값이 표준값과 1σ 안에 일치, 측정 성공.
예비보고서 항목별 작성 팁
실험 목적
'g를 측정한다'와 'T ∝ √L 관계를 검증한다' 두 가지를 모두 적는다.
오차 분석
L 측정 오차(실의 신축, 추 중심 위치 모호성)와 T 측정 오차(반응 시간 ~0.2 s)를 정량적으로 추정한다.
자주 하는 실수
- — 실의 길이만 재고 추 중심까지의 거리를 무시하는 것
- — 진폭을 너무 크게 잡고 작은 각도 근사가 깨진 데이터를 사용하는 것
- — 스톱워치 반응 시간 오차를 무시하는 것 (한 주기만 재면 ±5% 오차)
- — g를 최종 결과만 적고 불확도를 빼먹는 것
자주 묻는 질문
Q. 추의 질량이 정말 주기에 영향을 안 주나요?
이상적인 단진자에서는 영향이 없습니다. 운동방정식 mL²θ̈ = –mgL sin θ 양변에서 m이 소거되기 때문입니다. 다만 실제로는 공기 저항이 추의 단면적에 의존하므로 가벼우면서 큰 추는 약간 다른 거동을 보일 수 있습니다. 학부 측정 정밀도에서는 무관합니다.
Q. 왜 10주기를 측정하나요?
스톱워치 시작·정지의 반응 시간 오차(~0.2 s)는 측정 시간이 길수록 상대적으로 작아집니다. 1주기를 재면 ~10% 오차, 10주기를 재면 ~1% 오차가 됩니다. 단, 너무 긴 시간을 재면 진폭 감쇠가 커져 작은 각도 근사가 깨지므로 10~20주기가 적절합니다.
Q. 주기와 진폭이 관련 있나요?
이상 단진자의 주기는 진폭에 무관(등시성, isochronism)하다는 것이 갈릴레오 이래의 결론입니다. 그러나 이는 작은 각도 근사 sin θ ≈ θ에서만 성립하며, 진폭이 커질수록 T = 2π√(L/g)·[1 + θ₀²/16 + ...] 보정이 필요합니다. 5° 이내에서는 0.05% 이내, 30°에서는 약 1.7% 보정.
Q. 공기 저항이 결과에 얼마나 영향을 주나요?
강철구처럼 밀도가 높고 단면이 작은 추는 공기 저항이 거의 무시됩니다. 종단속도가 매우 높아 학부 측정 시간(수 초~수십 초)에서는 영향이 0.1% 미만. 가벼운 스티로폼이나 큰 단면의 추는 영향이 커서 측정 g가 표준값보다 작게 나옵니다.
Q. 추의 모양이 영향을 주나요?
이상 단진자에서는 추를 점질량으로 가정합니다. 추의 크기와 모양이 무시 못 할 때는 "물리진자" 모델 T = 2π√(I/(mgd))를 써야 하며, 여기서 I는 회전축에 대한 관성모멘트, d는 회전축에서 질량중심까지 거리. 학부 단진자에서는 추를 가능한 작게 잡아 점질량 가정이 성립하게 합니다.
Q. 측정한 g가 표준 9.80과 차이나는 이유는?
(1) 위도와 고도에 따라 실제 g가 다름 (서울 9.7997, 부산 9.7995, 평양 9.8014). (2) 실의 신축, 추 중심 위치 모호성, 스톱워치 반응 시간 등 측정 오차. (3) 진폭이 5° 이상일 때의 비선형 보정. 일반적으로 ±0.5% 이내면 학부 실험으로 충분히 양호한 결과입니다.
Q. 두 진자의 주기가 같으려면?
T = 2π√(L/g)이므로 같은 장소(g 동일)에서는 길이 L이 같으면 주기가 같습니다. 추의 질량·모양은 무관(이상 단진자 가정 하). 단진자가 "등시성(isochronism)"을 가진다는 갈릴레오의 발견이 시계 발명의 기초가 되었습니다.
참고 표준·문헌
본 가이드는 다음 표준·교과서·핸드북의 정의·식·표준 절차를 따라 작성되었습니다. 학교 양식과 표준 절차가 다를 경우 학교 양식을 우선합니다.
- [1]Halliday, D., Resnick, R., Walker, J. — Fundamentals of Physics, 12th ed., Wiley, 2021
- [2]Taylor, J.R. — An Introduction to Error Analysis, 2nd ed., University Science Books, 1997